TI POLITALA MATDIS 1A

HIMPUNAN

Himpunan digunakan untuk mengelompokkan objek-objek yang berbeda secara bersama-sama. Maksudnya bahwa anggota himpunan tidak boleh sama. Terdapat 3 cara untuk menyajikan himpunan, yaitu mengenumerasikan elemen-elemen nya, menggunakan simbol-simbol baku, menyatakan syarat keanggotaan dan menggunakan diagram venn.

1. Operasi pada Himpunan

 Berikut adalah beberapa operasi pada himpunan yaitu :

Irisan himpunan

A irisan B ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

Contoh :    A= {2, 3, 5, 7, 11}

B= {1, 3, 5, 7, 9}

A ∩ B = {3, 5, 7}

Gabungan Himpunan

A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

Contoh :    A= {2, 4, 6, 8, 10}

B= {2, 3, 5, 7, 11}

A ∪ B = {2,3,4,5,6,7,8,10,11}

Selisih

A Selisih B ditulis A-B = {x | x ∈ A atau x Ï B}

Contoh :    A= {1, 2, 3, 4, 5}

B= {2, 3, 5, 7, 11}

A-B = {1, 4}

Komplemen himpunan

Komplemen A ditulis A1 atau A^c = {x | x ∈ S dan x Ï A}

Contoh :    A= {1, 2, 3, 4 , 5}

S = {bil. Asli kurang dari 10}

A^{c =} {6, 7, 8, 9}

Beda Setangkup

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah sesuatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi: A⊕B = (A∪B) – (A∩B) = (A-B) ∪ (B-A)

Misalkan A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 } maka ,  A⊕B = { 3, 4, 5, 6 }

Perkalian Kartesain

Perkalian kartesian (Cartesian products) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan

berurutan (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen kedua dari himpunan A dan B.

Notasi: A x B ={(a,b)| a ∈ A dan b ∈ B}

Misalkan C = { 1, 2, 3 },  dan D = { a, b }, maka  C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

2. Macam-Macam Himpunan Bilangan Tertentu.

1. Jika G adalah himpunan bilangan genap G = {2,4,6,..,..}
2. Jika L adalah himpunan bilangan ganjil  L = {1,3,5,7,...,...}
3. Jika A adalah himpunan bilangan asli A = {1,2,3,...,...}
4. Jika P adalah himpunan bilangan prima   P  = {2,3,5,7,....}
5. Jika C adalah himpunan bilangan cacah  C  = {0,1,2,3,..,..}

3. Diagram Venn

Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. di dalam diagram Venn, himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},

                         A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

4.  Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Misalkan A merupakan himpunan yang elemen-elemennya berhingga banyaknya. Jumlah elemen A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau |A|  , notasi |A| untuk menyatakan kardinalitas himpunan.

B = {x|x merupakan HIMA di STTG}, Maka |B| = 4, dengan elemen-elemen B adalah HIMATIF, HIMAKOM, HIMASIP, HIMATI.

A = {a, {a}, {{a}}, maka |A| = 3, dengan elemen-elemen A (yang berbeda) adalah a, {a}, dan {{a}}.

5.  Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi: Ø atau { }

Contoh: A = {x | x < x}, maka n(A) = 0

Perhatikan bahwa himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Ø}.

6.  Himpunan bagian (subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A ⊆ B

Contoh: A ⊆ B jika elemen A ada di B

A = {1,2,3,4,5}

B = {1,2,3,4,5,7}

C = {1,2,4,5}

Jadi A ⊆ B bukan himpunan bagian C

7. Himpunan yang Sama

– Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

– A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ≠ B.

– Notasi : A = B  ↔  A ⊆ B dan B ⊆ A   

8. Himpunan Ekivalen

– Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

– Notasi: A ~ B  ↔ |A|=|B|

Contoh: A={a,b,c} dan B={2,4,6} maka A ~ B sebab |A|= |B|

9.  Himpunan Saling Lepas

– Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

– Notasi : A // B  

– Contoh: jika A={2,4,6,8} dan B={3,5,7} maka A // B sebab elemen himpunan A dan elemen himpunan B tidak ada yang sama.

1O.  Himpunan Kuasa

• Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
• Notasi : P(A) atau 2^A
• Jika |A| = m, maka |P(A)| = 2m.

Contoh:

– Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

– Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Ø) = {Ø}, & himpunan kuasa dari himpunan {Ø} adalah P({Ø}) = {Ø, {Ø}}. 

SUMBER :

https://annisarido.wordpress.com/2013/09/29/matematika-diskrit-teori-himpunan/

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2015/11/belajar-himpunan-matematika.html