TI POLITALA MATDIS 1A

 OPERATOR LOGIKA

Pengertian Operator Logika

         Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen) dan hubungan-hubungan yang ada pada kalimat tersebut. Tujuannya adalah untuk memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai besar. Kalimat yang di pelajari dalam logika bersifat umum , baik dalam bahasa sehari-hari ataupun bukti matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh karena itu aturan didalamnya bersifat umum, tidak tergantung pada kalimat .Ilmu logika lebih mengarah kepada bentuk kalimat (sintaks) dari pada kalmat itu sendri (semantik).
        Operator logika ialah logika yang mengunakan bahasa matematika yang menggunakan bahasa matematika yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol-simbol. Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol ialah ringkas, univalen ( bermakna tunggal), dan universal (dapat di pakai di mana-mana).

Kalimat Majemuk

       Pernyataan majemuk merupakan gabungan dari pernyataan-pernyataan tunggal (yang disebut komponen dari pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung logika seperti dan ,atau, jika ..... maka, dan jika ..... hanya jika.

       Nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk ditentukan hanya oleh nilai kebenaran dari masing-masing komponennya. Oleh karena itu, antara kompenen-komponen dalam  pernyataan majemuk boleh tidak ada hubungan.

A. Proposisi

         Proposisi merupakan satu tutur atau pernyataan yang melukiskan beberapa keadaan yang belum tentu benar atau salah dalam bentuk sebuah kalimat berita. Kebenaran sebuah proposisi berkorespondensi dengan fakta, sebuah proposisi yang salah tidak berkorespondensi dengan fakta. Proposisi terdiri atas empat unsur, dua di antaranya merupakan materi pokok proposisi, sedangkan dua yang lain sebagai hal yang menyertainya. Empat unsur yang dimaksudkan ialah term sebagai subjek, term sebagai predikat, kopula dan kuantor.

Jenis-Jenis Proposisi

         Secara sederhana dapat dibedakan atas empat macam yaitu sebagai berikut:

• Proposisi Universal Afirmatif
  Proposisi universal afirmatif ialah pernyataan bersifat umum yang membenarkan adanya hubungan subjek dengan perdikat, dirumuskan “semua S ialah P”.
• Proposisi Universal Negatif
  Proposisi universal negatif ialah pernyataan yang bersifat umum yang mengingkari adanya hubungan subjek dengan perdikat, dirumuskan “semua S bukan P”.
• Proposisi Partikular Afirmatif
  Proposisi partikular afirmatif ialah pernyataan bersifat khsusu yang membenarkan adanya hubungan subjek dengan perdikat, dirumuskan “sebagian S adalah P”.
• Proposisi Partikular Negatif
  Proposisi partikular negatif adalah pernyataan bersifat khsusu yang mengingkari adanya hubungan subjek dengan predikat, dirumuskan “sebagian S bukan P”.

Bentuk-Bentuk Proposisi

        Berdasarkan dua jenis proposisi yaitu berdasarkan kualitas (positif dan negatif ) dan berdasarkan kuantitas (umum dan khusus) ditemukan empat macam proposisi yaitu:

• Proposisi umum -positif disebut proposisi A.
• Proposisi umum-negatif disebut proposisi E.
• Proposisi khusus-positif disebut proposisi I.
• Proposisi umum-negatif disebut proposisi O proposisi umum-positif ialah proposisi yang predikatnya membenarkan keseluruhan subjek.

Proposisi umum-negatif ialah proposisi yang predikatnya mengingkari keseluruhan subjek (E). Proposisi khusus-positif ialah proposisi yang predikatnya membenarkan sebagai subjek (I).

Contoh Proposisi

• Semarang ialah Ibukota provinsi Jawa Tengah (proposisi yang bernilai benar karena Semarang ialah Ibukota Jawa Tengah).
• Sukarno ialah Presiden Pertama Republik Indonesia.
• 5 + 7 = 10 (proposisi yang bernilai salah).
• x + 5 = 11 (bukan proposisi, karena “x” belum ditentukan)

Tabel Kebenaran

     Nilai kebenaran suatu proposisi majemuk didasarkan pada ‘Nilai kebenaran proposisi atomik penyusunnya’ dan cara mereka dihubungkan dengan ‘opeator logika’. Dan ‘Tabel kebenaran’ adalah salah satu cara untuk mengetahui nilai kebenaran dari proposisi majemuk. Table kebenaran ini nantinya akan menunjukkan nilai kebenaran dari tiap – tiap proposisi atomik dan kombinasinya menurut operator logika. Berikut adalah tiga buah tabel kebenaran untuk operasi logika Conjuction, Disjuction, dan Negation.

Keterangan:

B = bernilai benar

S = bernilai salah

1. Konjungsi (∧)

P	Q	P ∧ Q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Maka nilai kebenarannya B ∧ B = B

2. Disjungsi (V)

P	Q	P V Q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Maka nilai kebenarannya S V S = S

3. Implikasi (→)

P	Q	P →Q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Maka nilai kebenarannya  B→S = S

4.      Biimplikasi (↔)

P	Q	P ↔Q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Maka nilai  kebenarannya jika nilai keduanya sama maka akan bernikai kebenaran benar (B).

Implikasi dan Aplikasinya
       
       Implikasi adalah pernyataan yang menggunakan kata hubung JIKA p MAKA q. Contoh implikasi :

P = Jakarta adalah ibu kota Indonesia

q = gubernur DKI Jakarta adalah Anies Baswedan

jika di implikasikan maka kalimat tersebut berbunyi “Jika Jakarta adalah ibu kota Indonesia maka gubernur DKI Jakarta adalah Anies Baswedan.

contoh soal seperti :

1. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi dua pernyataan berikut.

p: Pak Rudi adalah manusia. (benar)

q: Pak Rudi kelak akan mati. (benar)

Jawab:

p ⇒ q: Jika Pak Rudi adalah manusia, maka kelak akan mati. (benar)

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI, EKUIVALENSI LOGIKA

A.   Tautologi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1][1]

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q)  p selalu benar.

2.      [(p→q) ʌ p] p  q

Pembahasan:

P	q	(p→q)	(p→q) ʌ p	[(p  q) ʌ p] pʌq
B B S S	B S B S	B S B B	B S S S	B B B B

Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk [(p→q) ʌ p] pʌq selalu benar

B.   Kontradiksi

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F  atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh dari Kontradiksi:

1.      (A ʌ ~A)

Pembahasan:

A	~A	(A ʌ ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.

2.      P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan:

P	q	~p	(~p ʌ q)	P ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

C.   Ekuivalensi Logika

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “  dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.

      Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.

2.     Tunjukkan bahwa:  ~(p v q)  (~p ʌ ~q)

Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ʌ ~q) yaitu:

P	q	~p	~q	p v q	~(p v q)	(~p ʌ ~q)
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B B B S	S S S B	S S S B

 
Sumber : 
https://www.gurupendidikan.co.id/proposisi-pengertian-jenis-bentuk-contoh/

Munir, Rinaldi. 2012. Matematika Diskrit. Bandung : INFORMATIKA.

Limbong, A dan A. Prijono. 2006. Matematika Diskrit. Bandung: CV Utomo.

Soesianto, F dan Djoni Dwijono.2003. Logika Proposisional. Yogyakarta: Andi.

Upschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson. 2008. Matematika Diskrit. Jakarta: Erlangga.