RELASI
Misalkan A
& B sebagai himpunan, hubungan antara himpunan E & himpunan F
merupakan himpunan yang memiliki pasangan atau huruf/ angka yang
berurutan, tetapi mengikuti aturan tertentu.
Example:
Misal A
= {2, 4, 6} dan B = {2, 4, 6, 8 }.
A × B menjadi :
A × B = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2),
(4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8)}
Jika
menggunakan aturan relasi/ hubungan diatas, relasi R dari A ke
B yang mengikuti aturan
tadi menjadi,
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}
Hubungan/Relasi
bisa juga terjadi hanya pada satu atau sebuah himpunan, yaitu hubungan pada
A, di himpunan A, yang
merupakan himpunan A × A.
A. Macam-macam Relasi dan Sifat-sifat Relasi
Relasi memiliki beberapa macam sifat berikut adalah penjabarannya
:
1. Relasi Biner
Adalah hasil
kali 2 himpunan atau relasi yang menghubungkan 2 himpunan yang himpunan
bagianya tidak kosong. Sifat-sifat relasi Biner :
Reflektif
Suatu relasi
bersifat reflektif , jika setiap x є A, maka (A,A) є R. Contoh :
B = {1,2,3} dan
R = {(x,y)│x,y є B, xy > 0}
Apakah R
reflektif atau tidak ?
B x B =
{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3) dari hasil kali Cartesian
kita memperoleh R = {(1,1),(2,2),(3,3)}. Karena semua hasil xy > 0
dan x є B, maka R adalah relasi yang reflektif.
Simetris
Suatu relasi
bersifat simetrik, jika untuk setiap x,y є A dengan xRy dan yRx. Contoh:
M = {-2,-1, 0,
1, 2} dan R = {(x,y) │x,y є M, xy > 0}
Apakah R
simetris atau tidak?
M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),
(0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2),(2,-1),
(2, 0), (2, 1), (2, 2)}, dari hasil kali Cartesian kita memperoleh R =
{(-2,-2), (-2,-1), (-1,-2), (-1,-1), (1, 1), (1, 2), (2, 2)}. Dari sini jelas
terlihat bahwa untuk setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R dengan x,y є M. Jadi
R adalah sebuah relasi yang simetris.
Antisimetris
Suatu Relasi
bersifat antisimetris, jika untuk setiap x,y є A dengan xRy dan yRx maka x =y. Contoh
:
A = {-2,-1,0,1,2}
dan R = {(x,y) │x,y є A, y = │x }
Apakah R
antisimetris atau tidak ?
M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-2,2),
(-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2),
(1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2),(2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)},
dari hasil kali Cartesian kita memperoleh R = {(-2,2),(-1,1),(1,1),(0,0),(2,2)}.
Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R dengan
x,yєA. Jadi R adalah sebuah relasi yang Antrisimetris.
Transitif
Suatu Relasi
bersifat transitif, jika setiap x,y,z є A dengan xRy, yRz, danxRz. Contoh :
A = {-1,0,1}
dan R = {(x,y) │x,y є A, x ≥ y}
Apakah R
transitif atau tidak Punya :
A x A =
{(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)} . Dari
hasil kali Cartesian kita memperoleh, R = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,0),
(0,1), (1,1)}. Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y,z є A) dengan xRy dan yRz, berlaku xRz.
2. Relasi Ekuivalen
Adalah relasi
yang memenuhi 3 sifat relasi yaitu reflektif, simetris dan transitif. Contoh :
B = {a,b,c,d}
dan R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)}
Apakah R
ekivalen atau tidak ?
Reflektif : {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)},
ya reflektif karena x є B berlaku (x,x) є R.
Simetris : Karena untuk setiap x,y є B dengan
xRy berlaku yRx, maka R simetris.
Transitif : {(a,b),(b,a),(a,a)},
karena x,y,z є B dengan xRy dan yRz
berlaku xRz, Maka adalah relasi yang transitif.
Karena tiga sifat diatas yaitu reflektif, simetrik dan transitif dipenuhi
maka kita dapat simpulkan bahwa R adalah relasi ekivalen.
3. Relasi Tolak Parsial (POSET)
Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial jika ia
refleksif, tolak setangkup, dan menghantar. Himpunan S bersama-sama dengan relasi disebut himpunan terurut
sacara parsial, dan dilambangkan dengan (S, R).
Contoh 1:
Relasi
pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial.
Penyelesaian:
Relasi
refleksif
: karena A, A untuk setiap bilangan bulat A
Relasi
tolak-setangkup : karena jika a b dan b , maka a = b.
Relasi
menghantar : karena jika a b dan b c maka a
c.
Contoh 2:
A = himpunan
siawa SMP
R = relasi
pada A
(a, b) R jika a sekelas dengan b. Tentukan (A, R)
Penyelesaian:
R refleksif
: setiap siswa SMP sekelas dengan dirinya sendiri
R tolak
setangkup : jika a sekelas dengan b, maka b pasti dengan a.
R menghantar
: jika a sekelas
dengan b dan b sekelas dengan c, maka pastilah a sekelas dengan c.
Catatan : Secara intuitif, di dalam relasi pengurutan porsial, 2 benda
saling berhubungan jika salah satunya lebih kecil (lebih besar) atau lebih
rendah (lebih tinggi) daripada lainnya.
4. Representasi
Representasi Notasi : R ⊆ (A x B)
Jika (a, b) ∈ R ,
maka kita dapat gunakan notasi a R b yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R. Namun jika
(a, b) ∉ R, maka
kita dapat gunakan notasi a R b yang
artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R. Misalkan
P = {2,4,6} dan Q = {2,4,8,10,12,13}. Jika kita definisikan
relasi R dari P ke Q dengan : (p,q) ∈ R jika
p habis membagi q. Maka kita peroleh
R =
{(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}
Representasi Table
Relasi dapat direpresentasikan menggunakan tabel.
Kolom pertama untuk menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua untuk
menyatakan daerah hasil. Misalkan P = {2,4,6} dan Q =
{2,4,8,10,12,13}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan
: (p,q) ∈ R jika
p habis membagi q. Maka kita peroleh
R =
{(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}
Representasi Matriks
Misalkan R adalah relasi dari A = {a1,
a2, …, an} dan B ={b1, b2, …, bn}. Relasi R dapat disajikan
dengan matriks M = [mij], dimana
Dengan kata lain, elemen matriks bernilai 1 jika a¡ dihubungkan
dengan bj, dan bernilai 0 jika tidak dihubungkan dengan bj. Relasi
pada contoh 1 dapat dinyatakan dengan matriks berikut :
Dalam hal ini, a1 = Andi, a2 = Beni, a3
= Caca, dan b1 = TI231, b2 = TI321, b3 = TI412, b4 =
TI221.
Representasi Graf Berarah
Pada graf berarah, tiap elemen himpunan dinyatakan
dengan sebuah titik (vertex), dan tiap pasangan nya dinyatakan
dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan pada sebuahpanah. Jadi,
jika (a, b) ∈ R, maka busur dibuat dari simpul a ke
simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex)
dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).
Contoh :
a. Representasi graf untuk relasi R = {(a,b),
(a,c), (b,a), (b,c), (c,d),(a,d)}.
b. Representasi graf untuk relasi R = {(2,2),
(2,5), (2,7), (3,8)}.
Setiap elemen pada himpunan A maupun himpunan B gambarkan dengan sebuah simpul (titik bulat) dan arah dari suatu elemen ke elemen yang lainnya ditunjukkan dengan sebuah panah.
Setiap elemen pada himpunan A maupun himpunan B gambarkan dengan sebuah simpul (titik bulat) dan arah dari suatu elemen ke elemen yang lainnya ditunjukkan dengan sebuah panah.
SUMBER :
https://lamalamatika.wordpress.com/materi-relasi/
Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Revisi Kelima. Penerbit Informatika
